埼玉県のホームページから下のようなサイトに行けます。
http://www.navi.spec.ed.jp/w/TenHenInfo.aspxご自分で確認するのが一番いいと思いますが、公共の情報ですから張り付けてみます。
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川越工業高校(全)
共学区分 共学
電話番号 049-222-0206
受入人数 (-) 募集人数なし
電気科 ： 1年（-）、2年（-）、3年（-）
機械科 ： 1年（1）、2年（7）、3年（4）
建築科 ： 1年（-）、2年（-）、3年（-）
デザイン科 ： 1年（-）、2年（3）、3年（1）
化学科 ： 1年（1）、2年（3）、3年（7）
試験日程
（例月）
現在のところ、試験日は設定されておりません。試験は随時受付ておりますので、希望する方は学校へお問合せ下さい。
試験日程
（春休み）
願書提出期限 平成31年 03月 26日 試験日 平成31年 04月 02日
試験日程
（次年度）
試験科目
国語・
数学・
英語・専門（該当学科）の４科目
面接も実施します。
提出書類
転編入学願、理由書、住所等を証明する書類、成績証明書 在学証明書（高等学校等に在学している場合）その他校長 が必要と認めるもの
備考
なお、現在在籍している学科と関連する学科でないと受験できません。
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まず最後にある
「現在在籍している学科と関連する学科」
ということなので、今現在、デザインに関連する学科の高校生である、というのが条件です。
受け入れ人数としては、
「２年生（４月から３年生）３名、３年生（この３月で卒業する）１名」なので、来年３年生になる人が３人までは大丈夫でしょう。
最後に、どこにも書いていませんが、
「一家転住（家族全員で引っ越し）して、４月から埼玉県民となる人」
が対象であり、今、埼玉に住んでいる高校生は除かれると思います。
もし埼玉県内での編入が自由で可能なら、とりあえず高校生になってから編入試験を受けまくれば、入学試験で入れなかった希望高校に行けることになってしまいますよね。
質問者さんの状況がわかりませんが、私ができる回答はこんな感じです。
詳しくは在籍している学校の先生か、川越工業高校に電話して聞いてみましょう。
