問題間違ってない？例えばN＝4 と適当な偶数たとえば6の組合せだと、16＋12＝28で8の倍数にはならないよ？
あ、ごめん。これどちらもNを使うのか。
それならN＝2k(kは0および自然数)とおくと
N²＝4k²
2N＝4k
N²＋2N ＝ 4k²＋4k＝4k(k＋1)
ここでk(k＋1)が偶数なら題意を示せる。
k(k＋1)は連続する二整数の積であるが、このときkか(k＋1)はどちらかが必ず偶数である。ゆえにその積は必ず偶数である。
以上、題意は示された。
おそらく、正の偶数をNとして、Nの二乗とNの2倍を足した数は8の倍数になる、ということの証明だと思います。
この質問、九産大九産の昨日の試験で出た問題のようで同校の掲示板に投稿されていました。
なぜか修猷、福高、筑紫丘、大濠、西南の掲示板にも同じ質問が投稿されているのですが。
〉kは0および自然数
訂正すいません。正の偶数ならk≠0で良さそうですね
せっかくこういうトピが立ったわけだし、類題でも紹介してみようかな。中学生でも解けなくはないけど、できたらすごい。
nは自然数とする.
n, n＋2, n＋4 がいずれも素数となるのは, n＝3のみであることを示せ.
〉nは自然数とする.
n, n＋2, n＋4 がいずれも素数となるのは, n＝3のみであることを示せ.
【発想】
本当にn＝3だけなの？じゃあ試しに
n＝5のとき、5, 7, 9 だから9がアウト
n＝7のとき、7, 9, 11 また9か
n＝11のとき、11, 13, 15 15がNG
n＝13のとき、13, 15, 17 また15か……
n＝17のとき、17, 19, 21 21が……ん？
【解】
まず、n, n＋2, n＋4 のうち必ず１つは3の倍数であることを示す。
kを自然数とする。
n＝3k＋1 のとき、n＋2＝3k＋3となり3の倍数である。
n＝3k＋2 のとき、n＋4＝3k＋6＝3(k＋2)となり3の倍数である。
ゆえに、n, n＋2, n＋4 のいずれかは必ず3の倍数である。当然、3の倍数の中で素数は3しかない。よって、n, n＋2, n＋4のいずれかは3になる。
n＋2＝3 も n＋4＝3 も明らかに不適。よって、この3つの整数がいずれも素数となるのはn＝3のときだけである。終
どんなもんでしょ
おまけ問題の出題者です。遅れましたが、上の解答で正解です。元ネタは早稲田の
過去問です。【発想】があるのがいいですね！
