春日高等学校 - 福岡県 公立

針の穴の部分から瞬間的に空気がもれる という仮定は、「針の管路抵抗を無視する」という仮定と等価です。
針の中の空気についての定常流れ状態で成り立つ式は
P0×針の断面積＋針の管路抵抗＝P1×針の断面積
ですから、管路抵抗＝０とすれば常にP1=P0となり、ご想像されているような圧力上昇は起こりません。
（つまり、注射器の管の奥には管路抵抗のあるような細い針は付いておらず、底抜け状態になっているのと同様ということです。それが「針の穴の部分から瞬間的に空気がもれる」という仮定の物理的な意味です。）

よって、計算に必要なのは、ピストンの質量と、ピストンと注射器の間の摩擦です。

もし、その摩擦も無視して簡略化すれば、単にピストンに粘土をぶつけるという２物体の衝突と全く同じになりますので、運動量保存則から導かれる速度V'＝MV／（M＋ピストン質量）で注射器の奥に当たるまで等速度運動します。途中で停止することはありません。

動摩擦力Ｆが働くと仮定するなら、動摩擦力は通常速度には無関係として考えますので、動摩擦力のする仕事で元の運動エネルギーを使い切った時に止まりますから
F×止まるまでの距離＝(1/2)・（M＋ピストン質量）V'^2
より停止位置が計算できます。

回答どうもありがとうございます。
管路抵抗、ピストン摩擦、ピストン質量も無視したとしても
粘土衝突で瞬間的に空気に力が入るので
一瞬後に圧力が上昇して止まるのでは？と想像します。
管路抵抗といいますか、出口抵抗みたいな感じなのでしょうか？
（出口がない時と比較して、少な目の反力がピストンにかかるのでは
ないかと想像します。）考え方のヒントがありましたらまたよろしくお願いします。
どうもありがとうございました。

少し補足します。
「粘土衝突で瞬間的に空気に力が入る」とのお考えですが、力を考える時は、必ずその反力がどこかにあるはずです。それをどこに求めていらっしゃるのでしょうか？
普通に考えればピストンの運動によって針から押し出される空気の流れによる管路抵抗が針に及ぼす力が、その反力の大半を占めます。しかし、ここでは仮定によりそれは無視されています。
次に考えられるのは、注射器自体（これも太い管です。）に及ぼす力で、管路抵抗と摩擦の２つが考えられます。後者の方が大きいでしょう。しかし、これも無視することになっています。
つまり、物理モデルとしては、無限に長い管の中に静止しているピストンに粘土をぶつけたのと同じことです。
その場合、ピストンの前面では無限遠方の圧力に対して空気の動圧分の圧力上昇が起こります。（いわゆる空気抵抗。）これはエネルギー保存則（空気の場合圧縮性流体のベルヌーイの定理。）によるものです。しかし、これも空気の密度は粘土やピストンに比べて３桁くらい小さく、亜音速くらいにVが大きくないとほとんど影響はありませんが、仮定されている条件の下ではこれしか残りません。ベルヌーイの定理は本来は非粘性定常状態を仮定していますが、圧力変動は音速で伝播するのでVが十分小さければ準定常問題として扱って構わないと思います。この時の運動方程式は（ピストンの質量も無視ということなので合計質量はM、衝突後の速度はVで立式します。）

Mａ = -(1/2)ρv^2・A
v：ピストンの速度
a：ピストンの加速度 = dv/dt
ρ(P1)：空気密度(温度変化を無視すれば圧力の関数です by ボイル＆シャルル様)
A：ピストンの断面積
初期条件：t=0においてv=V

という運動方程式になります。
この微分方程式を解けば運動の解析が出来ます。
右辺の動圧がP1-P0に相当します。
お求めの静止時圧力については、v=0ですので、動圧が０であり、方程式を解くまでもなくP1=P0です。

ただし、この方程式で解いた解は閉管内のピストンに対する空気抵抗しか考えてませんので、注射器がかなり長くないと停止する前に注射器の奥に当たって止まります。
確かにピストンが押し込まれれば圧力上昇が起こるという直感的な判断は正しいのですが、その第一要因である針の管路抵抗を無視してこの問題を考えるのは無理があります。

解答ありがとうございます。管路抵抗の簡易モデルをもう一度考えたいと思います。