長崎西高等学校 - 長崎県 公立

昔は私立大はなかなか受験させてもらえないこともあったそうですが、最近はそのようなことは聞かないですね。少なくとも自分の同級生からは聞いたことありません。(なので、私立専願だからといって全く対応してくれないことはないと思います)
ただ、私立大は国立大と違って教科を絞って受験する場合が多いです。それについて特別な処置をしてくれることは一切ないですし、共通テストが終わった後の特編授業でも私立志望の人は地方国公立のコースの人と一緒のクラスでした。(文系の話ですが)なので、高二の段階から教科絞ってやっているような都会の学校に比べたら不利な状況であると言えますね。
私見ですが、自分の頑張りがかなり重要だと思います。
色々不安なこともあると思いますが、希望に沿った進路を実現できるよう頑張ってください。

東大京大志望の人が滑り止めとして早慶を受験するのはよくあることで、彼らは基本的にそこまで対策をせずに受験するのですが、早慶などの難関私立を第一志望としている人へのサポートはそこまで充実していないです。
東大京大がたとえ数人でもクラスが編成されるのに比べると、難関私立志望者は地方国公立と同じクラスに入れられ、難関私立特有の出題の対策はしてもらえないのが普通です。（一部の難関私立では国公立と全く違う出題がなされることもあります。）
上の方がおっしゃるように、私立の受験では必要ない教科の勉強も強いられるでしょう。
なによりも、先生方があまり私大について詳しくないので、そこまでのサポートを期待できません。東大京大志望者を見てきた先生方なら、滑り止め校として関わってきているので、ある程度傾向にも詳しいのですが、私大を第一志望にしているとクラス編成の関係上そのような先生方に教えていただけるのは稀です。自分からお願いすれば個別の対応はしていただけるかもしれませんが。
いずれにしても、私大は国立の滑り止めという考えが根強いので、自分から情報収集することは極めて大事です。私大を第一志望にしているからといって志望変更を強く迫られたりとかはしないと思いますが、学校側のこれまでの経験として難関私大対策にはあまり慣れていないのです。国公立とは違った戦略が求められる大学も多いですから、アンテナを張って頑張ってください。