県立などの公立高校は、厳正な選抜規準に則って選抜していますので、簡単には途中入学はできません。
上でどなたか言っているように、遠方への引っ越し以外の理由は認められておりません。
そうしないと、受験結果に納得のいかない方々が押し寄せる事が予想され、厳しい選抜を経た意味が無くなるからです。
それに例え遠方に引っ越しをしても、受けたい高校に欠員がなければ編入試験を受けることもできません。年度の途中で欠員が出るような、要するに退学者が出るような高校は、進学校から松国くらいまでのレベルの高校ではほとんど聞かないです。
偏差値的に底辺に近いところだと、募集の出るところはあります。
質問者さんのような例は、非常に難しい例かと思います。公立をやめて私立に移る、或いは私立から私立なら、案外簡単に移れますので、それを検討してみて下さい。
質問者さんが、もし経済的な理由で、私立から公立に移りたいのなら、残念ながら遠方に引っ越しするのも大金がかかりますし、難しい事かと思います。でも、通信制や定時制など、選択肢がない訳ではありません。学力的に優秀な生徒さんなら、高卒認定などを自力で取得して、大学受験をするという手もあります。希望を無くさず、様々な選択肢を親子で探して下さい。教育委員会などに相談するという手もあります。いろいろ教えて貰えるかと。健闘を祈ります。