結果が直観に反することから、定理であるが「パラドックス」と呼ばれる。証明の1箇所で選択公理を使うため、選択公理の不合理性を論じる文脈で引用されることがある。ステファン・バナフ(バナッハ)とアルフレト・タルスキが1924年に初めてこの定理を述べたときに選択公理を肯定的にとらえていたか、否定的にとらえていたか、判断することは難しい(「この研究に対する選択公理の果たす役割は注目に値する。」(Le rôle que joue cet axiome dans nos raisonnements nous semble mériter l'attention.)としか述べていない)。なお、選択公理よりも真に弱いハーン–バナッハの定理からバナッハ=タルスキーのパラドックスを導くことができる。[1]
この定理は次のように述べることも出来る。
球は、それ自身と同じ球二つと分割合同である。 ただし、分割合同とは以下のように定義される: A と B をユークリッド空間の部分集合とする。 A と B が有限個の互いに交わらない部分集合の合併として
A = ⋃ i = 1 n A i , B = ⋃ i = 1 n B i A=¥bigcup _{{i=1}}^{n}A_{i},¥quad B=¥bigcup _{{i=1}}^{n}B_{i} つまり、
A = A1 ∪ ... ∪ An , B = B1 ∪ ... ∪ Bn と表すことができ、全ての i について、 A i A_{i} と B i B_{i} が合同であるとき、A と B を分割合同という。