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回答数：4件
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一般的なことについての話題

内緒さん＠在校生 [ 2016/04/30(土) ]

（A＋B)(B＋C)(C＋A)＋ABC＝(A＋B＋C)(AB＋BC＋CA)になるみたいですが、どうやったらこうなるのでしょうか？教えてください。

ちなみに、これはワークにありました。

保護者兼任＠卒業生 [ 2016/04/30(土) ]

わかりやすいように適宜空白を入れているので、＝の前後をよく比較対照してみてください。

(A＋B)(B＋C)(C＋A)＋ABC
=(AB＋AC＋B^2＋BC)(C＋A)＋ABC
=ABC＋AC^2＋B^2C＋BC^2 ＋A^2B＋A^2C＋AB^2＋ABC ＋ABC
=A^2B＋A^2C ＋AB^2＋AC^2 ＋ABC＋ABC ＋ABC ＋B^2C＋BC^2
=(B＋C)A^2 ＋(B^2＋C^2＋2BC)A ＋BC(A＋B＋C)
=(B＋C)A^2 ＋ (B＋C)^2・A ＋BC(A＋B＋C)
=(B＋C)A{A ＋(B＋C)} ＋BC(A＋B＋C)
=(B＋C)A(A＋B＋C) ＋BC(A＋B＋C)
=(A＋B＋C){AB＋CA＋BC}
=(A＋B＋C)(AB＋BC＋CA)

内緒A＠一般人 [ 2019/01/05(土) ]

別解の一例です。
[解答の要点]
A、B、Cについての上式の三次式において、A+B=x、AB=yとおくことにより、上式をx、y、Cについての二次式に簡単化して、左辺＝右辺を証明する。
[解答の詳細]
まず、
左辺=(A+B)(A+C)(B+C)+ABC＝x(y+xC+C^2)+yC
=xy+(x^2+y)C+xC^2
他方、
右辺=(A+B+C)(AB+AC+BC)=(x+C)(y+xC)
=xy+(x^2+y)C+xC^2
よって、両辺が等しいことが証明された。

内緒A＠一般人 [ 2019/01/06(日) ]

上記別解の訂正です。
【訂正前】
上式をx、y、Cについての二次式に簡単化して
【訂正後】
上式をx、y、Cについて一部分の項を二次式に簡単化して

内緒A＠一般人 [ 2019/01/06(日) ]

他の別解です。
[解答の要点]
与式の形の特性に留意して、A+B+C=Sとおいて、(A＋B)(B+C)(C+A)をS、A、B、Cで表し、変形することにより、与式を証明する。
[解答の詳細]
(A＋B)(B+C)(C+A)=(S-C)(S-A)(S-B)
=S^3-(C+A+B)S^2+(CA+AB+BC)S-CAB
=S^3-SS^2+(AB+BC+CA)S-ABC
=(AB+BC+CA)(A+B+C)-ABC
よって、上式のABCを移項することにより、与式は証明される。

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